理解数学才能教好数学——对高中数学教师

[ 发布时间 ]:2016/1/15 11:26:41 [ 点击次数 ]:5290

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理解数学才能教好数学
对高中数学教师
陶维林
一、数学的理解永远是第一位的
教什么比怎么教更重要。
理解数学才能教好数学,否则,可能教的错误的数学。
1 函数的奇偶性及其教学。
一位特级教师的引入:
情境引入

师:观察如图15张图片,看它们具有什么特点。
 

生:都是对称图形,蝴蝶和麦当劳标识是轴对称图形,其余是中心对称图形。(演示图片的对称轴和对称中心。创设对称问题情境的目的在于,一是可用调动学生的学习和课堂参与的积极性,二是让学生体会如何从具体问题抽象出数学问题,增长用数学的眼光看问题的见识,体现了数学的文化特征。)
师:我们把教材66页练习第4题看作蝴蝶翅膀的一部分轮廓线,请同学们以图中的y轴和原点分作为对称轴和对称中心,作出其对称图形。(用实物投影仪展示学生所画的图形,引导学生把两个对称点坐标化,就此引入函数奇偶性的定义,这里坐标化就是让学生经历一次建模过程)
这里有三个问题:
1)函数的奇偶性是不是由生活中的具体问题(图形对称)直接抽象出来的?
2)是否需要考虑“函数的奇偶性”因何得此名?甚至得名的原因应该成为教学的出发点?
3)“函数的奇偶性”是函数的性质之一,函数性质怎么教学?
函数指什么?函数是(两个)变量之间的关系,是否应该关注一个变量(因变量)随着另一个变量(自变量)的变化怎么变化?
函数的性质指什么?所谓性质,是指(某类)事物所具有的(共同)特点,是事物在变化过程中保持不变的规律。
历史的考证:
1)最早的有关奇、偶函数的定义。
1627年,欧拉首次提出了奇、偶函数的概念。
若用-x代替x,函数保持不变,则称这样的函数为偶函数(function pares——拉丁文)。
若用-x代替x,函数变号,则称这样的函数为奇函数(function impares——拉丁文)。
显然,关注的是,当自变量变成为它的相反数-x时,函数值如何变化。
2)因何而得名?
欧拉同时给出了三类偶函数:
f(x)=x2n,(n=123);
f(x)=,(m为偶数,n为大于1的奇数);
上面两类函数经过加、减、乘、除、乘方运算所得的函数及其任意次幂,如f(x)=ax2+bn,(ab为常数,n=123)。
欧拉同时给出了三类奇函数:
f(x)=x2n1,(n=123);
f(x)=,(mn均为奇数,n1);
上面两类函数经过加、减、乘、除、乘方运算所得的函数及其奇数次幂,如f(x)=ax3+bn,(ab为常数,n为奇数)。
以上选自《“奇、偶函数”考源》(数学通报,2014年第3期,作者汪晓勤)。
可见,奇、偶取自于幂指数的奇数、偶数。
有人曾经向我提出,偶函数还包括象y=|x|等这一类,指数并不是偶数?以示得偶函数之名并不合理(不是所有的偶函数都有个指数是偶数)。据汪晓勤(华东师范大学教授,博士生导师,数学史专家)说,当时只有幂函数。
通过以上的分析,我以为,教学函数的奇偶性不是从生活中的对称图形说起,而是从什么叫做函数的性质?如何研究函数的性质说起。关注的是,当自变量变为它的相反数时,相应地,函数值是否也变为相反数或者不变(或者两者都不是)。研究方法是,形数结合,由特殊到一般,让学生对函数(奇偶)特征获得足够的体验与感受,在此基础上(水到渠成)进行概括,并分类获得奇函数、偶函数的概念。
性质是事物在变动中不变的规律,是事物所具有的特性。在变动中发现,在比较中产生,在相互作用中显现出来。
弧度制引入的必要性。
有人说,他曾经问中学教师:“三角函数的研究对象是什么?”他说,中学教师的回答“是角”。然后笑了笑。
那么,三角函数的研究对象是什么?
弧度制引入的必要性——函数概念(数学概念)抽象的需要。
课程标准:“通过学习,学生能够在用锐角三角函数刻画直角三角形边角关系的基础上,借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会弧度制的必要性。”
设汽车运动的平均速度是10 km/h,则t h后,运动的距离s=10 t km。——具体。时间—→距离。
正比例函数 y=kxk是常数,k0)。——抽象。实数—→实数。
经过抽象的正比例函数、反比例函数、分式函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等,自变量的取值以及函数值的取值都是实数。
在研究以角的变化所引起的有关变化时,数学需要抽象出三角函数的概念。
怎么抽象?
需要自变量x的取值集合与函数值y的取值集合属性要统一起来,统一成什么?实数。
否则,y=sinx,如果x取角(度,分,秒,60进制),对应的函数值是实数,那么,再将y作为自变量的取值,得到sin(sinx),这是什么?
再比如,圆的渐开线的参数方程是(其中φ是参数,r是基圆半径)。
这就要改造角的度量制度,以适应实数这一要求。
高度的抽象性是数学的重要特征。正是因为它的高度抽象,才使得它具有应用的广泛性。
2个苹果,2张桌子,……都十分具体,而数字2代表什么?2是高度抽象的一个实数。
要用实数来刻画角,首先,从进制上说,角的度量也必须是十进制。
怎么实现对角的度量的十进制呢?——长度。长度是十进制。用长度来刻画角可以实现角的度量的十进制。
不再采用等分圆周的方法,而采用以半径长作为度量单位,长度是半径的弧所对的圆心角的大小称为1弧度(单位)的角。
不论是等分圆周的方法,还是用半径长度量圆周的方法,所得到的角的大小都与角的两边的长短无关,而仅与角张开的程度有关(大于周角例外)。
当然,引进弧度制还有其他好处,但这是主要的。
y=sinx(xR)是高度抽象的。
其实,仔细阅读教材就可以看出这一过程。
为什么要引进弧度制?“狐狸尾巴”在哪里露出来了?
在引入弧度制后,做了这样两件事:
1)在角的弧度制表示的集合与实数集合之间建立一一对应,将αrad对应成ααR)。
2)弧度可以省略不写。αrad就是ααR)。
什么意思?角的弧度与实数混为一谈,角(的大小)用实数表示。
从生活中的实例也可以看出,引进弧度制纯粹是数学的需要。
从来没有听人说过:“向前走50米,再向右拐,再走20米就到了。”
在与三角函数无关的地方还是用角度制表示角的大小,可能更加明确。
对于一个量,采用什么样的度量制度是根据需要来确定,这就是概念产生的必要性。
角的大小对于炮兵是至关重要的。度量角的单位只有一种——密位。即密位制。
把圆周6000等分,一份的弧所对的圆心角的大小称为1密位。
炮兵之间传递角的大小信息时,只说数字,不必说单位。
度量角的大小还有一种制度——百分度制。
定义:90°=100 Grad。在这个制度下,sin50=
即便是数也有不同进制。计算机用2进制,不是十进制。
这一些可以扩展学生的眼界,增长见识,也使得他们乐意接受新的度量角的制度——弧度制,并认真掌握它。
从以上关于引进弧度制的目的可见,初中学习的“锐角三角函数”不是真正数学意义上的函数。既没有说过它的定义域,也没有画过它的图象,更没有研究过它的性质,只是一个表示:sinA=(其中,ca分别是RtABC的斜边长和∠A对边长),sinA表示一个比值。上海的教科书上叫做“三角比”不叫“锐角三角函数”。《课程标准》说“锐角三角函数刻画直角三角形边角关系”。
这些认识对于高中教学任意角的三角函数无疑有重要意义,因为你必须知道学生的认知基础在哪里,否则,你的教学具有一定的盲目性。
任何概念都是有必要产生才产生的,任何概念都是在解决问题的过程产生的。这个道理对于概念教学有着极其重要的指导意义。凡是概念教学都应该让学生感受到这一点。
理解数学是教师永远的追求。
既然当了教师就应热爱这项工作,把它当作自己的事业,而不仅仅是为了谋生。你真的爱上了它,也一定会乐在其中。
二、教学应该与学生认知基础、认知能力对接
有人说过,如果教师的教学不能与学生的经验发生对接,那么教学没有发生。
学生的认知基础、认知能力、认知个性是永远需要教师尊重的。因此,好的教学设计一定是对学生认知基础、认知能力、认知个性的准确把握。
3 等比数列前n项和公式的获得。
你是否感受到教学“错位相减法”——别扭,不顺,学生很难想到。如果感受到了,就说明,这里一定有问题!——不符合人们认识事物的规律。
这样的教学过程可能更自然:
1你要做什么?(类比地提出任务):
求等比数列的前n项和。即 Sna1a2a3an
2.你已有什么?
1)等比数列的定义;q
2)通项公式ana1qn1
3)等比数列的各种性质。
4)你还知道什么?过去学过的定义、定理、法则等。
3.你会怎么做?
从“此岸”怎么到达“彼岸”?
观察,观察你有的,观察你需要的;
比较,比较你有的和你需要的;
找联系,想办法。
显然,在q中,后项相加就是
a1a2a3an
这是根据等比定理(注意名称),前项相加比上后项相加比值不变。
条件是相加后的分母a1a2a3an不等于零。
什么时候a1a2a3an0呢?
q=-1时,偶数个项相加才会出现Sn0。这时没有必要这么做了。
这样,就得到Snq≠1)。
4.还有别的办法吗?
要求Sna1a2a3an
由通项公式知,就是求
Sna11qq2qn1)。
可见,谁会求1qq2qn1,谁就会求等比数列前n项和。
问题转化了!核心是求Tn1qq2qn1
怎么求呢?
1Tn1qq2qn1=1q1qq2qn1)-qn
Tn1q Tnqn(构造出Tn的方程,已经比较难了)。解出Tn
2)可能想到错位相减法。
qTnqq2gn1qn。(这时想到两边同乘以q要容易多)
Tn1qq2qn1相减。
大部分都减掉了,剩下无几了,Tn求出来了。
5.教科书上的错位相减法要不要教?
要教。
怎么教?诚实地告诉学生,我自己——老师也想不到。
大家想一想,书上这个方法是咋想出来的?
观察结果,Snq≠1)。
也就是,(1qSna11qn)。
分析思考,综合呈现。
“错位相减法”它的意义还在于,可以用来求形如{(an+b)qn}的数列的前n项的和。
弗赖登塔尔认为,从定义、概念、公式开始的数学是反教学的。
6.说话的依据在哪?
历史上,求等比数列前n项和用的不是“错位相减法”。
《中学数学中的数学史》(汪晓勤)P92载,《几何原本》第九卷命题35
7.启示:
不要让学生觉得“老师,你真聪明,可打死我也想不出来。”
设置一个自然地教学过程,向学生暴露自己的思维过程。教会学生如何面对一个问题,如何调用自己的知识、经验,真正提高学生分析问题、解决问题的能力。
 
结束语:
学无止境。
深入才能浅出。
在忙碌之余,读些书,思考些问题。
只有把学习当习惯的人,才能成功。
让我们共勉。
                   20151124日于江宁分校